2019 CMO 第 2 题

Let $O$ be the circumcenter of $\triangle ABC$ ( $AB<AC$ ), and $D$ be a point on the internal angle bisector of $\angle BAC$ . Point $E$ lies on $BC$ , satisfying $OE\parallel AD$ , $DE\perp BC$ . Point $K$ lies on $EB$ extended such that $EK=EA$ . The circumcircle of $\triangle ADK$ meets $BC$ at $P\neq K$ , and meets the circumcircle of $\triangle ABC$ at $Q\neq A$ . Prove that $PQ$ is tangent to the circumcircle of $\triangle ABC$ .

设 $O$ 为 $\triangle ABC$ ( $AB<AC$ ) 的外心，$D$ 为 $\angle BAC$ 内角平分线上的点。点 $E$ 位于 $BC$ 上，满足 $OE\parallel AD$ 、 $DE\perp BC$ 。点 $K$ 位于 $EB$ 扩展上，使得 $EK=EA$ 。 $\triangle ADK$ 的外接圆在 $P\neq K$ 处与 $BC$ 相交，并在 $Q\neq A$ 处与 $\triangle ABC$ 的外接圆相交。证明 $PQ$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆相切。