1997 CMO 第 3 题

Prove that there are infinitely many natural numbers $n$ such that we can divide $1,2,\ldots ,3n$ into three sequences $(a_n),(b_n)$ and $(c_n)$ , with $n$ terms in each, satisfying the following conditions:

i) $a_1+b_1+c_1= a_2+b_2+c_2=\ldots =a_n+b_n+c_n$ and $a_1+b_1+c_1$ is divisible by $6$ ;

ii) $a_1+a_2+\ldots +a_n= b_1+b_2+\ldots +b_n=c_1+c_2+\ldots +c_n,$ and $a_1+a_2+\ldots +a_n$ is divisible by $6$ .

证明有无数个自然数 $n$ ，我们可以将 $1,2,\ldots ,3n$ 分成三个序列 $(a_n),(b_n)$ 和 $(c_n)$ ，每个序列有 $n$ 项，满足以下条件：

i) $a_1+b_1+c_1= a_2+b_2+c_2=\ldots =a_n+b_n+c_n$ 且 $a_1+b_1+c_1$ 可被 $6$ 整除；

ii) $a_1+a_2+\ldots +a_n= b_1+b_2+\ldots +b_n=c_1+c_2+\ldots +c_n,$ 和 $a_1+a_2+\ldots +a_n$ 可以被 $6$ 整除。