1988 CMO 第 5 题

Let $n$ ( $n\ge 3$ ) be a natural number. Denote by $f(n)$ the least natural number by which $n$ is not divisible (e.g. $f(12)=5$ ). If $f(n)\ge 3$ , we may have $f(f(n))$ in the same way. Similarly, if $f(f(n))\ge 3$ , we may have $f(f(f(n)))$ , and so on. If $\underbrace{f(f(\dots f}_{k\text{ times}}(n)\dots ))=2$ , we call $k$ the “*length*” of $n$ (also we denote by $l_n$ the “*length*” of $n$ ). For arbitrary natural number $n$ ( $n\ge 3$ ), find $l_n$ with proof.

设 $n$ ( $n\ge 3$ ) 为自然数。用 $f(n)$ 表示 $n$ 不可整除的最小自然数(例如 $f(12)=5$ )。如果 $f(n)\ge 3$ ，我们可以以同样的方式得到 $f(f(n))$ 。类似地，如果 $f(f(n))\ge 3$ ，我们可能有 $f(f(f(n)))$ ，依此类推。如果 $\underbrace{f(f(\dots f}_{k\text{ times}}(n)\dots ))=2$ ，我们称 $k$ 为 $n$ 的“*length*”(我们也用 $l_n$ 表示 $n$ 的“*length*”)。对于任意自然数 $n$ ( $n\ge 3$ )，找到 $l_n$ 并提供证明。