1991 CMO 第 2 题

Given $I=[0,1]$ and $G=\{(x,y)|x,y \in I\}$ , find all functions $f:G\rightarrow I$ , such that $\forall x,y,z \in I$ we have:

i. $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ ;

ii. $f(x,1)=x, f(1,y)=y$ ;

iii. $f(zx,zy)=z^kf(x,y)$ .

( $k$ is a positive real number irrelevant to $x,y,z$ .)

给定 $I=[0,1]$ 和 $G=\{(x,y)|x,y \in I\}$ ，找到所有函数 $f:G\rightarrow I$ ，使得 $\forall x,y,z \in I$ 我们有：

岛$f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$;

二. $f(x,1)=x, f(1,y)=y$;

三. $f(zx,zy)=z^kf(x,y)$ 。

( $k$ 是与 $x,y,z$ 无关的正实数。)