2008 CMO 第 4 题

Let $A$ be an infinite subset of $\mathbb{N}$ , and $n$ a fixed integer. For any prime $p$ not dividing $n$ , There are infinitely many elements of $A$ not divisible by $p$ . Show that for any integer $m >1, (m,n) =1$ , There exist finitely many elements of $A$ , such that their sum is congruent to 1 modulo $m$ and congruent to 0 modulo $n$ .

设 $A$ 为 $\mathbb{N}$ 的无限子集，$n$ 为固定整数。对于任何素数 $p$ 不能整除 $n$ ， $A$ 中有无限多个元素不能被 $p$ 整除。证明对于任何整数 $m >1, (m,n) =1$ ， $A$ 存在有限多个元素，使得它们的和与 1 模 $m$ 全等，并且与 0 模 $n$ 全等。