2003 CMO 第 2 题

Determine the maximal size of the set $S$ such that:
i) all elements of $S$ are natural numbers not exceeding $100$ ;
ii) for any two elements $a,b$ in $S$ , there exists $c$ in $S$ such that $(a,c)=(b,c)=1$ ;
iii) for any two elements $a,b$ in $S$ , there exists $d$ in $S$ such that $(a,d)>1,(b,d)>1$ .

*Yao Jiangang*

确定集合 $S$ 的最大大小，使得：

i) $S$的所有元素都是不超过$100$的自然数；

ii) 对于 $S$ 中的任意两个元素 $a,b$ ，$S$ 中存在 $c$ 使得 $(a,c)=(b,c)=1$ ；

iii) 对于 $S$ 中的任意两个元素 $a,b$ ，$S$ 中存在 $d$ 使得 $(a,d)>1,(b,d)>1$ 。

*姚建刚*