2001 CMO 第 6 题

Let $a=2001$ . Consider the set $A$ of all pairs of integers $(m,n)$ with $n\neq0$ such that

(i) $m<2a$ ;

(ii) $2n|(2am-m^2+n^2)$ ;

(iii) $n^2-m^2+2mn\leq2a(n-m)$ .

For $(m, n)\in A$ , let $$f(m,n)=\frac{2am-m^2-mn}{n}.$$

Determine the maximum and minimum values of $f$ .

让 $a=2001$ 。考虑所有整数对 $(m,n)$ 与 $n\neq0$ 的集合 $A$，使得

(i) $m<2a$ ；

(ii) $2n|(2am-m^2+n^2)$；

(iii) $n^2-m^2+2mn\leq2a(n-m)$ 。

对于 $(m, n)\in A$ ，令 $$f(m,n)=\frac{2am-m^2-mn}{n}.$$

确定 $f$ 的最大值和最小值。