2011 CMO 第 4 题

Let $A$ be a set consist of finite real numbers, $A_1,A_2,\cdots,A_n$ be nonempty sets of $A$ , such that **(a)** The sum of the elements of $A$ is $0,$ **(b)** For all $x_i \in A_i(i=1,2,\cdots,n)$ ,we have $x_1+x_2+\cdots+x_n>0$ .

Prove that there exist $1\le k\le n,$ and $1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n$ , such that
$$|A_{i_1}\bigcup A_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_k}|<\frac{k}{n}|A|.$$

Where $|X|$ denote the numbers of the elements in set $X$ .

设 $A$ 为有限实数组成的集合，$A_1,A_2,\cdots,A_n$ 为 $A$ 的非空集合，使得 **(a)** $A$ 的元素之和为 $0,$ **(b)** 对于所有 $x_i \in A_i(i=1,2,\cdots,n)$ ，我们有$x_1+x_2+\cdots+x_n>0$ 。

证明存在 $1\le k\le n,$ 和 $1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n$ ，使得

$$|A_{i_1}\bigcup A_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_k}|<\frac{k}{n}|A|.$$

其中 $|X|$ 表示集合 $X$ 中元素的数量。