2023 CMO 第 6 题

Prove that there exist $C>0$ , which satisfies the following conclusion:
For any infinite positive arithmetic integer sequence $a_1, a_2, a_3,\cdots$ , if the greatest common divisor of $a_1$ and $a_2$ is squarefree, then there exists a positive integer $m\le C\cdot {a_2}^2$ , such that $a_m$ is squarefree.
Note: A positive integer $N$ is squarefree if it is not divisible by any square number greater than $1$ .

*Proposed by Qu Zhenhua*

证明存在 $C>0$ ，满足以下结论：

对于任意无限正算术整数序列 $a_1, a_2, a_3,\cdots$ ，如果 $a_1$ 和 $a_2$ 的最大公约数无平方，则存在正整数 $m\le C\cdot {a_2}^2$ ，使得 $a_m$ 无平方。

注意：如果正整数 $N$ 不能被任何大于 $1$ 的平方数整除，则该正整数 $N$ 是无平方的。

*曲振华提议*