1990 CMO 第 1 题

Given a convex quadrilateral $ABCD$ , side $AB$ is not parallel to side $CD$ . The circle $O_1$ passing through $A$ and $B$ is tangent to side $CD$ at $P$ . The circle $O_2$ passing through $C$ and $D$ is tangent to side $AB$ at $Q$ . Circle $O_1$ and circle $O_2$ meet at $E$ and $F$ . Prove that $EF$ bisects segment $PQ$ if and only if $BC\parallel AD$ .

给定凸四边形 $ABCD$ ，边 $AB$ 不平行于边 $CD$ 。穿过 $A$ 和 $B$ 的圆 $O_1$ 在 $P$ 处与边 $CD$ 相切。穿过 $C$ 和 $D$ 的圆 $O_2$ 在 $Q$ 处与边 $AB$ 相切。圆圈 $O_1$ 和圆圈 $O_2$ 在 $E$ 和 $F$ 交汇。证明 $EF$ 平分线段 $PQ$ 当且仅当 $BC\parallel AD$ 。