1990 CMO 第 2 题

Let $x$ be a natural number. We call $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ a *factor link*of $x$ if the sequence $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ satisfies the following conditions:

(1) $x_0=1, x_l=x$ ;

(2) $x_{i-1}<x_i, x_{i-1}|x_i, i=1,2,\dots,l$ .

Meanwhile, we define $l$ as the length of the *factor link* $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ . Denote by $L(x)$ and $R(x)$ the length and the number of the longest *factor link* of $x$ respectively. For $x=5^k\times 31^m\times 1990^n$ , where $k,m,n$ are natural numbers, find the value of $L(x)$ and $R(x)$ .

设$x$为自然数。如果序列 $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ 满足以下条件，我们称 $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ 为 $x$ 的*因子链接*：

(1) $x_0=1, x_l=x$;

(2) $x_{i-1}<x_i, x_{i-1}|x_i, i=1,2,\dots,l$ 。

同时，我们将 $l$ 定义为 *factor link* $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ 的长度。 $L(x)$和$R(x)$分别表示$x$的最长*因子链接*的长度和数量。对于 $x=5^k\times 31^m\times 1990^n$ ，其中 $k,m,n$ 是自然数，找到 $L(x)$ 和 $R(x)$ 的值。