2021 CMO 第 5 题

In acute triangle $ABC (AB>AC)$ , $M$ is the midpoint of minor arc $BC$ , $O$ is the circumcenter of $(ABC)$ and $AK$ is its diameter. The line parallel to $AM$ through $O$ meets segment $AB$ at $D$ , and $CA$ extended at $E$ . Lines $BM$ and $CK$ meet at $P$ , lines $BK$ and $CM$ meet at $Q$ . Prove that $\angle OPB+\angle OEB =\angle OQC+\angle ODC$ .

在锐角三角形 $ABC (AB>AC)$ 中，$M$ 是短弧 $BC$ 的中点，$O$ 是 $(ABC)$ 的外心，$AK$ 是它的直径。通过 $O$ 与 $AM$ 平行的线在 $D$ 处与线段 $AB$ 相交，并在 $E$ 处延伸 $CA$。 $BM$ 和 $CK$ 线在 $P$ 处相交，$BK$ 和 $CM$ 线在 $Q$ 处相交。证明 $\angle OPB+\angle OEB =\angle OQC+\angle ODC$ 。