2021 CMO 第 2 题

Let $\{ z_n \}_{n \ge 1}$ be a sequence of complex numbers, whose odd terms are real, even terms are purely imaginary, and for every positive integer $k$ , $|z_k z_{k+1}|=2^k$ . Denote $f_n=|z_1+z_2+\cdots+z_n|,$ for $n=1,2,\cdots$ (1) Find the minimum of $f_{2020}$ .

(2) Find the minimum of $f_{2020} \cdot f_{2021}$ .

令 $\{ z_n \}_{n \ge 1}$ 为复数序列，其奇数项为实数，偶数项为纯虚数，并且对于每个正整数 $k$ ， $|z_k z_{k+1}|=2^k$ 。将 $f_n=|z_1+z_2+\cdots+z_n|,$ 表示为 $n=1,2,\cdots$ (1) 求 $f_{2020}$ 的最小值。

(2) 求 $f_{2020} \cdot f_{2021}$ 的最小值。