题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1985.pdf。
Let
$$
\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
$$
be a doubly infinite array of positive integers, and suppose each
positive integer appears exactly eight times in the array. Prove that
for some pair of positive integers .
让
$$
\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \点 \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \点 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\结束{数组}
$$
是一个双无限正整数数组，并假设每个
正整数在数组中恰好出现八次。证明
对于某对正整数 。
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1985 年 Putnam B3 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？