题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1995.pdf。
Let be differentiable
(real-valued) functions of a single variable which satisfy
$$
\begin{aligned}
\frac{dx_{1}}{dt} &= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +
a_{1n}x_{n} \\
\frac{dx_{2}}{dt} &= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots +
a_{2n}x_{n} \\
\vdots && \vdots \\
\frac{dx_{n}}{dt} &= a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots +
a_{nn}x_{n}
\end{aligned}
$$
for some constants . Suppose that for all , $x_{i}(t)
\to 0t \to \inftyx_{1},x_{2},\dots,x_{n}$
necessarily linearly dependent?
设 可微
单个变量 的(实值)函数满足
$$
\开始{对齐}
\frac{dx_{1}}{dt} &= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +
a_{1n}x_{n} \\
\frac{dx_{2}}{dt} &= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots +
a_{2n}x_{n} \\
\vdots && \vdots \\
\frac{dx_{n}}{dt} &= a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots +
a_{nn}x_{n}
\结束{对齐}
$$
对于某些常量 。假设对于所有 ，$x_{i}(t)
\to 0t \to \inftyx_{1},x_{2},\dots,x_{n}$
必然是线性相关的？
提示 1
先代入 0、1、相等变量或会让一边简化的值。
提示 2
检查方程是否强迫单调、周期、单射、满射或常值。
提示 3
把递推链闭合，最后回代验证所有解。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1995 年 Putnam A5 可先归入函数方程：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？