内容 2021 · 436
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2021.pdf。
Let
$$
I(R) = \iint_{x^2+y^2 \leq R^2} \left( \frac{1+2x^2}{1+x^4+6x^2y^2+y^4} - \frac{1+y^2}{2+x^4+y^4} \right)\,dx\,dy.
$$
Find
$$
\lim_{R \to \infty} I(R),
$$
or show that this limit does not exist.
让
$$
I(R) = \iint_{x^2+y^2 \leq R^2} \left( \frac{1+2x^2}{1+x^4+6x^2y^2+y^4} - \frac{1+y^2}{2+x^4+y^4} \right)\,dx\,dy。
$$
查找
$$
\lim_{R \to \infty} I(R),
$$
或者证明这个极限不存在。
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2021 年 Putnam A4 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
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