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番外 · 闲灯 / Putnam 数学竞赛 / B2 · number-theory

2000 Putnam B2

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内容 2000 · 188
来源 context

题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2000.pdf。

Putnam 2000 B2 number-theory

Prove that the expression

gcd(m,n)n(nm)\frac{gcd(m,n)}{n}\binom{n}{m}

is an integer for all pairs of integers n≥m≥1n\geq m\geq 1.

证明表达式

gcd(m,n)n(nm)\frac{gcd(m,n)}{n}\binom{n}{m}

是所有整数对 n≥m≥1n\geq m\geq 1 的整数。

提示 1

先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。

提示 2

把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。

提示 3

若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2000 年 Putnam B2 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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