2012 Putnam A2

Let $*$ be a commutative and associative binary operation on a set $S$. Assume that for every $x$

and $y$ in $S$, there exists $z$ in $S$ such that $x * z = y$. (This $z$ may depend on $x$ and $y$.)

Show that if $a,b,c$ are in $S$ and $a*c = b*c$, then $a=b$.

令 $*$ 为集合 $S$ 上的交换和结合二元运算。假设对于每 $x$

$S$ 中存在 $y$，$S$ 中存在 $z$，使得 $x * z = y$。 (这个 $z$ 可能取决于 $x$ 和 $y$。)

证明如果 $a,b,c$ 在 $S$ 中且 $a*c = b*c$，则 $a=b$。