内容 1990 · 68
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1990.pdf。
Prove that for , ,
$$
1 + \sum_{j=1}^\infty (1 + x^j)P_j = 0,
$$
where is
$$
\frac{(1 - z)(1 - zx)(1 - zx^2) \cdots (1 - zx^{j-1})}
{(z - x)(z - x^2)(z - x^3) \cdots (z - x^j)}.
$$
证明对于 , $|z| > 1 美元,
$$
1 + \sum_{j=1}^\infty (1 + x^j)P_j = 0,
$$
其中 是
$$
\frac{(1 - z)(1 - zx)(1 - zx^2) \cdots (1 - zx^{j-1})}
{(z - x)(z - x^2)(z - x^3) \cdots (z - x^j)}。
$$
提示 1
先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。
提示 2
试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1990 年 Putnam B2 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
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