题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2004.pdf。
Suppose that is a continuous real-valued function on the unit
square . Show that
$$
\begin{aligned}
& \int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y) dx \right)^2 dy +
\int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y) dy \right)^2 dx \\
&\leq
\left( \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dx\, dy \right)^2 +
\int_0^1 \int_0^1 \left[ f(x,y) \right]^2 dx\,dy.
\end{aligned}
$$
假设 是单位上的连续实值函数
平方 。表明
$$
\开始{对齐}
& \int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y) dx \right)^2 dy +
\int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y) dy \right)^2 dx \\
&\leq
\left( \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dx\, dy \right)^2 +
\int_0^1 \int_0^1 \left[ f(x,y) \right]^2 dx\,dy。
\结束{对齐}
$$
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2004 年 Putnam A6 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？