内容 1993 · 106
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1993.pdf。
The function is positive and continuous for $0 \leq x \leq 1, 0
\leq y \leq 1f(x)g(x)$ are positive and
continuous for . Suppose that for all , ,
$$
\int_0^1 f(y)K(x,y)\,dy = g(x)
$$
and
$$
\int_0^1 g(y)K(x,y)\,dy = f(x).
$$
Show that for .
函数 对于 $0 \leq x \leq 1, 0 为正且连续
\leq y \leq 1f(x)g(x)$ 为正且
连续。假设对于所有 ，，
$$
\int_0^1 f(y)K(x,y)\,dy = g(x)
$$
和
$$
\int_0^1 g(y)K(x,y)\,dy = f(x)。
$$
证明 对于 。
提示 1
先代入 0、1、相等变量或会让一边简化的值。
提示 2
检查方程是否强迫单调、周期、单射、满射或常值。
提示 3
把递推链闭合，最后回代验证所有解。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1993 年 Putnam B4 可先归入函数方程：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
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