2013 Putnam A3

Suppose that the real numbers $a_0, a_1, \dots, a_n$ and

$x$, with $0 < x < 1$, satisfy

$$

\frac{a_0}{1-x} + \frac{a_1}{1-x^2} + \cdots + \frac{a_n}{1 - x^{n+1}} = 0.

$$

Prove that there exists a real number $y$ with $0 < y < 1$ such that

$$

a_0 + a_1 y + \cdots + a_n y^n = 0.

$$

假设实数 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 和

$x$，其中 $0 < x < 1$，满足

$$

\frac{a_0}{1-x} + \frac{a_1}{1-x^2} + \cdots + \frac{a_n}{1 - x^{n+1}} = 0。

$$

证明存在实数 $y$ 且 $0 < y < 1$ 使得

$$

a_0 + a_1 y + \cdots + a_n y^n = 0。

$$