2010 Putnam A5

Let $G$ be a group, with operation $*$. Suppose that

(i)
$G$ is a subset of $\mathbb{R}^3$ (but $*$ need not be related to addition of vectors);

(ii)
For each $\mathbf{a},\mathbf{b} \in G$, either $\mathbf{a}\times \mathbf{b} = \mathbf{a}*\mathbf{b}$
or $\mathbf{a}\times \mathbf{b} = 0$ (or
both), where $\times$ is the usual cross product in $\mathbb{R}^3$.

Prove that $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0$ for all $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in G$.

令$G$ 为一个群，操作为$*$。假设

(一)
$G$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子集(但 $*$ 不需要与向量加法相关)；

(二)
对于 G$中的每个$\mathbf{a},\mathbf{b} \，要么 $\mathbf{a}\times \mathbf{b} = \mathbf{a}*\mathbf{b}$
或 $\mathbf{a}\times \mathbf{b} = 0$ (或
两者)，其中 $\times$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中常见的叉积。

证明对于 G$中的所有$\mathbf{a}、\mathbf{b} \，$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0$。