2013 Putnam A5

For $m \geq 3$, a list of $\binom{m}{3}$ real numbers $a_{ijk}$ ($1 \leq i < < j < k \leq m$) is said to be *area definite* for $\mathbb{R}^n$ if the inequality

$$

\sum_{1 \leq i < j < k \leq m} a_{ijk} \cdot \mathrm{Area}(\Delta A_i A_j A_k) \geq 0

$$

holds for every choice of $m$ points $A_1,\dots,A_m$ in $\mathbb{R}^n$.

For example, the list of four numbers $a_{123} = a_{124} = a_{134} = 1$, $a_{234} = -1$ is area definite for $\mathbb{R}^2$. Prove that if a list of $\binom{m}{3}$ numbers is area definite for $\mathbb{R}^2$,

then it is area definite for $\mathbb{R}^3$.

对于 $m \geq 3$，$\binom{m}{3}$ 实数列表 $a_{ijk}$ ($1 \leq i < < j < k \leq m$) 被认为是 $\mathbb{R}^n$ 的*面积定*，如果不等式

$$

\sum_{1 \leq i < j < k \leq m} a_{ijk} \cdot \mathrm{面积}(\Delta A_i A_j A_k) \geq 0

$$

对于 $\mathbb{R}^n$ 中 $m$ 点 $A_1,\dots,A_m$ 的每个选择都成立。

例如，四个数字的列表 $a_{123} = a_{124} = a_{134} = 1$, $a_{234} = -1$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的区域定域。证明如果 $\binom{m}{3}$ 数字列表对于 $\mathbb{R}^2$ 是区域定的，

那么它是 $\mathbb{R}^3$ 的区域定域。