题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2017.pdf。
Evaluate the sum
\begin{gather*}
\sum_{k=0}^\infty \left( 3 \cdot \frac{\ln(4k+2)}{4k+2} - \frac{\ln(4k+3)}{4k+3} - \frac{\ln(4k+4)}{4k+4} - \frac{\ln(4k+5)}{4k+5} \right) \\
= 3 \cdot \frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln 3}{3} - \frac{\ln 4}{4} - \frac{\ln 5}{5}
+ 3 \cdot \frac{\ln 6}{6} - \frac{\ln 7}{7} \\ - \frac{\ln 8}{8} - \frac{\ln 9}{9}
+ 3 \cdot \frac{\ln 10}{10} - \cdots .
\end{gather*}
(As usual, denotes the natural logarithm of .)
评估总和
\开始{收集*}
\sum_{k=0}^\infty \left( 3 \cdot \frac{\ln(4k+2)}{4k+2} - \frac{\ln(4k+3)}{4k+3} - \frac{\ln(4k+4)}{4k+4} - \frac{\ln(4k+5)}{4k+5} \right) \\
= 3 \cdot \frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln 3}{3} - \frac{\ln 4}{4} - \frac{\ln 5}{5}
+ 3 \cdot \frac{\ln 6}{6} - \frac{\ln 7}{7} \\ - \frac{\ln 8}{8} - \frac{\ln 9}{9}
+ 3 \cdot \frac{\ln 10}{10} - \cdots 。
\结束{聚集*}
(与往常一样， 表示 的自然对数。)
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2017 年 Putnam B4 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？