2004 Putnam B6

Let $\mathcal{A}$

be a non-empty set of positive integers, and let $N(x)$ denote

the number of elements of $\mathcal{A}$ not exceeding $x$.

Let $\mathcal{B}$ denote the set

of positive integers $b$ that can be written in the form $b = a - a'$ with

$a \in \mathcal{A}$ and $a' \in \mathcal{A}$. Let $b_1 < b_2 < \cdots$

be the members of $\mathcal{B}$,

listed in increasing order. Show that if the sequence $b_{i+1} - b_i$ is

unbounded, then

$$

\lim_{x \to\infty} N(x)/x = 0.

$$

设$\mathcal{A}$

是一个非空正整数集合，令 $N(x)$ 表示

$\mathcal{A}$ 的元素数量不超过 $x$。

设 $\mathcal{B}$ 表示集合

正整数 $b$ 可以写成 $b = a - a'$ 的形式

$a \in \mathcal{A}$ 和 $a' \in \mathcal{A}$。设 $b_1 < b_2 < \cdots$

是 $\mathcal{B}$ 的成员，

按递增顺序列出。证明如果序列 $b_{i+1} - b_i$ 是

无界，那么

$$

\lim_{x \to\infty} N(x)/x = 0。

$$