内容 2001 · 200
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2001.pdf。
Find all pairs of real numbers satisfying the system
of equations
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} &= (x^2+3y^2)(3x^2+y^2) \\
\frac{1}{x} - \frac{1}{2y} &= 2(y^4-x^4).
\end{aligned}
$$
找到满足系统要求的所有实数对
方程组
$$
\开始{对齐}
\frac{1}{x} + \frac{1}{2y} &= (x^2+3y^2)(3x^2+y^2) \\
\frac{1}{x} - \frac{1}{2y} &= 2(y^4-x^4)。
\结束{对齐}
$$
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2001 年 Putnam B2 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
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