内容 2009 · 298
来源 context
题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2009.pdf。
Say that a polynomial with real coefficients in two variables, , is *balanced* if
the average value of the polynomial on each circle centered at the origin is .
The balanced polynomials of degree at most form a vector space over .
Find the dimension of .
假设一个在两个变量 中具有实数系数的多项式是*平衡的*，如果
以原点为中心的每个圆上多项式的平均值为 。
次数最多为 的平衡多项式在 上形成向量空间 。
求 的维数。
提示 1
先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2009 年 Putnam B4 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
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