2009 Putnam A3

Let $d_n$ be the determinant of the $n \times n$ matrix whose entries, from

left to right and then from top to bottom, are $\cos 1, \cos 2, \dots, \cos

n^2$. (For example,

$$

d_3 = \left| \begin{matrix} \cos 1 & \cos 2 & \cos 3 \\

\cos 4 & \cos 5 & \cos 6 \\

\cos 7 & \cos 8 & \cos 9

\end{matrix} \right|.

$$

The argument of $\cos$ is always in radians, not degrees.) Evaluate

$\lim_{n\to\infty} d_n$.

设 $d_n$ 为 $n \times n$ 矩阵的行列式，其条目来自

从左到右，再从上到下，分别是 $\cos 1, \cos 2, \dots, \cos

n^2$。 (例如，

$$

d_3 = \左| \begin{矩阵} \cos 1 & \cos 2 & \cos 3 \\

\cos 4 & \cos 5 & \cos 6 \\

\cos 7 & \cos 8 & \cos 9

\end{矩阵}\right|。

$$

$\cos$ 的参数始终以弧度为单位，而不是度数。)

$\lim_{n\to\infty} d_n$。