1985 Putnam B6

Let $G$ be a finite set of real $n\times n$ matrices $\{M_i\}$, $1

\leq i \leq r$, which form a group under matrix

multiplication. Suppose that $\sum_{i=1}^r \mathrm{tr}(M_i)=0$, where

$\mathrm{tr}(A)$

denotes the trace of the matrix $A$. Prove that $\sum_{i=1}^r M_i$ is

the $n \times n$ zero matrix.

设$G$为实数$n\times n$矩阵的有限集$\{M_i\}$, $1

\leq i \leq r$，在矩阵下形成一个群

乘法。假设 $\sum_{i=1}^r \mathrm{tr}(M_i)=0$，其中

$\mathrm{tr}(A)$

表示矩阵$A$的迹。证明 $\sum_{i=1}^r M_i$ 是

$n \times n$ 零矩阵。