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番外 · 闲灯 / Putnam 数学竞赛 / A2 · algebra

1989 Putnam A2

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内容 1989 · 50
来源 context

题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1989.pdf。

Putnam 1989 A2 algebra

Evaluate

∫0a∫0bemax{b2x2,a2y2} dy dx\displaystyle{\int_0^a\int_0^b e^{{\rm max}\{b^2x^2, a^2y^2\}}\,dy\,dx}

where aa and bb are positive.

评价

∫0a∫0bemax{b2x2,a2y2} dy dx\displaystyle{\int_0^a\int_0^b e^{{\rm max}\{b^2x^2, a^2y^2\}}\,dy\,dx}

其中 aa 和 bb 为正。

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1989 年 Putnam A2 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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