2019 Putnam B1

Denote by $\mathbb{Z}^2$ the set of all points $(x,y)$ in the plane with integer coordinates. For each integer $n \geq 0$, let $P_n$ be the subset of $\mathbb{Z}^2$ consisting of the point $(0,0)$ together with all points $(x,y)$ such that $x^2 + y^2 = 2^k$ for some integer $k \leq n$. Determine, as a function of $n$, the number of four-point subsets of $P_n$ whose elements are the vertices of a square.

用 $\mathbb{Z}^2$ 表示平面上具有整数坐标的所有点 $(x,y)$ 的集合。对于每个整数 $n \geq 0$，令 $P_n$ 为 $\mathbb{Z}^2$ 的子集，由点 $(0,0)$ 和所有点 $(x,y)$ 组成，使得对于某个整数 $k \leq n$，$x^2 + y^2 = 2^k$。作为 $n$ 的函数，确定 $P_n$ 的四点子集的数量，其元素是正方形的顶点。