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番外 · 闲灯 / Putnam 数学竞赛 / B1 · inequality

1998 Putnam B1

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内容 1998 · 163
来源 context

题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1998.pdf。

Putnam 1998 B1 inequality

Find the minimum value of

(x+1/x)6−(x6+1/x6)−2(x+1/x)3+(x3+1/x3)\frac{(x+1/x)^6-(x^6+1/x^6)-2}{(x+1/x)^3+(x^3+1/x^3)}

for x>0x>0.

找到最小值

\压裂(x+1/x)6−(x6+1/x6)−2(x+1/x)3+(x3+1/x3)\压裂{(x+1/x)^6-(x^6+1/x^6)-2}{(x+1/x)^3+(x^3+1/x^3)}

对于 x>0x>0。

提示 1

先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。

提示 2

试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。

提示 3

最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1998 年 Putnam B1 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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