2019 Putnam B6

Let $\mathbb{Z}^n$ be the integer lattice in $\mathbb{R}^n$. Two points in $\mathbb{Z}^n$ are called
*neighbors* if they differ by exactly $1$ in one coordinate and are equal in all other coordinates.
For which integers $n \geq 1$ does there exist a set of points $S \subset \mathbb{Z}^n$ satisfying the following two conditions?

(1) If $p$ is in $S$, then none of the neighbors of $p$ is in $S$.

(2) If $p \in \mathbb{Z}^n$ is not in $S$, then exactly one of the neighbors of $p$ is in $S$.

令$\mathbb{Z}^n$ 为$\mathbb{R}^n$ 中的整数格。 $\mathbb{Z}^n$ 中的两个点称为

*邻居*如果它们在一个坐标中正好相差$1$并且在所有其他坐标中相等。

对于哪些整数 $n \geq 1$ 存在满足以下两个条件的点集 $S \subset \mathbb{Z}^n$ ？

(1) 如果$p$在$S$中，则$p$的邻居都不在$S$中。

(2) 如果$p \in \mathbb{Z}^n$ 不在$S$ 中，则$p$ 的邻居之一在$S$ 中。