2014 Putnam A5

Let

$$

P_n(x) = 1 + 2 x + 3 x^2 + \cdots + n x^{n-1}.

$$

Prove that the polynomials $P_j(x)$

and $P_k(x)$ are relatively prime

for all positive integers $j$ and $k$ with $j \neq k$.

让

$$

P_n(x) = 1 + 2 x + 3 x^2 + \cdots + n x^{n-1}。

$$

证明多项式 $P_j(x)$

和 $P_k(x)$ 互质

对于所有正整数 $j$ 和 $k$ 以及 $j \neq k$。