2019 Putnam B3

Let $Q$ be an $n$-by-$n$ real orthogonal matrix, and let $u \in \mathbb{R}^n$ be a unit column vector (that is,

$u^T u = 1$). Let $P = I - 2uu^T$, where $I$ is the $n$-by-$n$ identity matrix. Show that if $1$ is not an eigenvalue of $Q$, then $1$ is an eigenvalue of $PQ$.

令 $Q$ 为 $n$×$n$ 实正交矩阵，并令 $u \in \mathbb{R}^n$ 为单位列向量(即

$u^T u = 1$)。设 $P = I - 2uu^T$，其中 $I$ 是 $n$×$n$ 单位矩阵。证明如果 $1$ 不是 $Q$ 的特征值，则 $1$ 是 $PQ$ 的特征值。