2014 Putnam B6

Let $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ be a function for which there exists a constant $K>0$

such that $\left| f(x) - f(y) \right| \leq K \left| x - y \right|$ for all $x,y \in [0,1]$.

Suppose also that for each rational number $r \in [0,1]$, there exist integers $a$ and $b$

such that $f(r) = a + br$. Prove that there exist finitely many intervals $I_1, \dots, I_n$

such that $f$ is a linear function on each $I_i$ and $[0,1] = \bigcup_{i=1}^n I_i$.

设 $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ 为存在常量 $K>0$ 的函数

这样 $\left| f(x) - f(y) \right| \leq K \left| x - y \right|$ 对于 [0,1]$中的所有$x,y \。

还假设对于每个有理数 $r \in [0,1]$，存在整数 $a$ 和 $b$

这样 $f(r) = a + br$。证明存在有限多个区间 $I_1, \dots, I_n$

这样 $f$ 是每个 $I_i$ 和 $[0,1] = \bigcup_{i=1}^n I_i$ 上的线性函数。