2013 Putnam B2

Let $C = \bigcup_{N=1}^\infty C_N$, where $C_N$ denotes the set of those `cosine polynomials' of the form
$$f(x) = 1 + \sum_{n=1}^N a_n \cos(2 \pi n x)$$
for which:

(i)
$f(x) \geq 0$ for all real $x$, and

(ii)
$a_n = 0$ whenever $n$ is a multiple of $3$.

Determine the maximum value of $f(0)$ as $f$ ranges through $C$, and

prove that this maximum is attained.

设 $C = \bigcup_{N=1}^\infty C_N$，其中 $C_N$ 表示这些“余弦多项式”的集合

$$

f(x) = 1 + \sum_{n=1}^N a_n \cos(2 \pi n x)

$$

其中：

(一)
$f(x) \geq 0$ 对于所有实数 $x$，并且

(二)
只要 $n$ 是 $3$ 的倍数，$a_n = 0$。

确定 $f(0)$ 的最大值，因为 $f$ 的范围到 $C$，并且
证明达到了这个最大值。