2010 Putnam B6

Let $A$ be an $n \times n$ matrix of real numbers for some $n \geq 1$.

For each positive integer $k$, let $A^{[k]}$ be the matrix obtained by raising each entry to the $k$th

power. Show that if $A^k = A^{[k]}$ for $k=1,2,\dots,n+1$, then $A^k = A^{[k]}$ for all $k \geq 1$.

令 $A$ 为 $n \times n$ 实数矩阵，其中 $n \geq 1$ 为实数。

对于每个正整数 $k$，令 $A^{[k]}$ 为通过将每个条目提升到第 $k$ 得到的矩阵

权力。证明如果 $k=1,2,\dots,n+1$ 时 $A^k = A^{[k]}$，则对于所有 $k \geq 1$，$A^k = A^{[k]}$。