题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2021.pdf。
A grasshopper starts at the origin in the coordinate plane and makes a sequence of hops.
Each hop has length , and after each hop the grasshopper is at a point whose coordinates are both integers; thus, there are possible locations for the grasshopper after the first hop.
What is the smallest number of hops needed for the grasshopper to reach the point ?
蚱蜢从坐标平面的原点开始，进行一系列跳跃。
每跳的长度为 ，每次跳后，蚱蜢到达的点的坐标均为整数；因此，在第一跳之后，蚱蜢有 可能的位置。
蚱蜢到达 点所需的最小跳跃次数是多少？
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2021 年 Putnam A1 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？