2002 Putnam A6

Fix an integer $b \geq 2$. Let $f(1) = 1$, $f(2) = 2$, and for each

$n \geq 3$, define $f(n) = n f(d)$, where $d$ is the number of

base-$b$ digits of $n$. For which values of $b$ does

$$

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f(n)}

$$

converge?

修复整数 $b \geq 2$。设 $f(1) = 1$, $f(2) = 2$，并且对于每个

$n \geq 3$，定义$f(n) = n f(d)$，其中$d$是

$n$ 的基数 $b$ 数字。 $b$ 的值对哪些值起作用

$$

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f(n)}

$$

收敛？