题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2011.pdf。
Let be real numbers. Suppose that there is
a constant such that for all ,
$$
\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{1 + (x-a_i)^2} \right)^2\,dx \leq An.
$$
Prove there is a constant such that for all ,
$$
\sum_{i,j=1}^n (1 + (a_i - a_j)^2) \geq Bn^3.
$$
令 为实数。假设有
常数 使得对于所有 ，
$$
\int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{1 + (x-a_i)^2} \right)^2\,dx \leq An.
$$
证明存在常数 ，使得对于所有 ，
$$
\sum_{i,j=1}^n (1 + (a_i - a_j)^2) \geq Bn^3。
$$
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2011 年 Putnam B5 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？