2013 Putnam A2

Let $S$ be the set of all positive integers that are *not* perfect squares. For $n$ in $S$, consider choices of integers

$a_1, a_2, \dots, a_r$ such that $n < a_1< a_2 < \cdots < a_r$

and $n \cdot a_1 \cdot a_2 \cdots a_r$ is a perfect square, and

let $f(n)$ be the minumum of $a_r$ over all such choices. For example,

$2 \cdot 3 \cdot 6$ is a perfect square, while $2 \cdot 3$, $2 \cdot 4$,

$2 \cdot 5$, $2 \cdot 3 \cdot 4$, $2 \cdot 3 \cdot 5$, $2 \cdot 4 \cdot 5$, and $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ are not, and so $f(2) = 6$.

Show that the function $f$ from $S$ to the integers is one-to-one.

令 $S$ 为所有“非”完全平方数的正整数的集合。对于$S$中的$n$，考虑整数的选择

$a_1, a_2, \dots, a_r$ 使得 $n < a_1< a_2 < \cdots < a_r$

$n \cdot a_1 \cdot a_2 \cdots a_r$ 是完全平方数，并且

令 $f(n)$ 为所有此类选择中 $a_r$ 的最小值。例如，

$2 \cdot 3 \cdot 6$ 是完全平方数，而 $2 \cdot 3$, $2 \cdot 4$,

$2 \cdot 5$、$2 \cdot 3 \cdot 4$、$2 \cdot 3 \cdot 5$、$2 \cdot 4 \cdot 5$ 和 $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ 不是，因此 $f(2) = 6$。

证明从 $S$ 到整数的函数 $f$ 是一对一的。