2002 Putnam A1

Let $k$ be a fixed positive integer. The $n$-th derivative of

$\frac{1}{x^k - 1}$ has the form $\frac{P_n(x)}{(x^k - 1)^{n+1}}$

where $P_n(x)$ is a polynomial. Find $P_n(1)$.

令 $k$ 为固定正整数。的 $n$ 阶导数

$\frac{1}{x^k - 1}$ 的形式为 $\frac{P_n(x)}{(x^k - 1)^{n+1}}$

其中 $P_n(x)$ 是多项式。找到$P_n(1)$。