2024 Putnam A5

Consider a circle $\Omega$ with radius 9 and center at the origin $(0,0)$, and a disc $\Delta$ with radius 1 and center at $(r,0)$, where $0 \leq r \leq 8$. Two points $P$ and $Q$ are chosen independently and uniformly at random on $\Omega$. Which value(s) of $r$ minimize the probability that the chord $\overline{PQ}$ intersects $\Delta$?

考虑一个半径为 9、中心位于原点 $(0,0)$ 的圆 $\Omega$，以及一个半径为 1、中心位于 $(r,0)$ 的圆盘 $\Delta$，其中 $0 \leq r \leq 8$。 $P$ 和 $Q$ 两个点在 $\Omega$ 上独立且均匀地随机选择。 $r$ 的哪个值最小化弦 $\overline{PQ}$ 与 $\Delta$ 相交的概率？