2016 Putnam B2

Define a positive integer $n$ to be *squarish* if either $n$ is itself a perfect square or the distance from $n$ to the nearest perfect square is a perfect square. For example, 2016 is squarish, because the nearest perfect square to 2016 is $45^2 = 2025$ and $2025-2016=9$ is a perfect square. (Of the positive integers between 1 and 10, only 6 and 7 are not squarish.)

For a positive integer $N$, let $S(N)$ be the number of squarish integers between 1 and $N$,

inclusive. Find positive constants $\alpha$ and $\beta$ such that

$$

\lim_{N \to \infty} \frac{S(N)}{N^\alpha} = \beta,

$$

or show that no such constants exist.

如果 $n$ 本身是完全平方数或者从 $n$ 到最近的完全平方数的距离是完全平方数，则将正整数 $n$ 定义为 *squarish*。例如，2016 年是方形的，因为与 2016 年最接近的完全平方数是 $45^2 = 2025$，而 $2025-2016=9$ 是完全平方数。 (1 到 10 之间的正整数中，只有 6 和 7 不是方形的。)

对于正整数 $N$，令 $S(N)$ 为 1 到 $N$ 之间的方形整数的数量，

包容性。找到正常数 $\alpha$ 和 $\beta$ 使得

$$

\lim_{N \to \infty} \frac{S(N)}{N^\alpha} = \beta,

$$

或表明不存在这样的常数。