题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/2019.pdf。
Let be a real-valued function that is continuous on the closed interval and twice differentiable on
the open interval . Suppose that for some real number ,
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)}{x^r} = 0.
$$
Prove that either
$$
\lim_{x \to 0^+} g'(x) = 0 \qquad \text{or} \qquad \limsup_{x \to 0^+} x^r |g''(x)| = \infty.
$$
设 为实值函数，在闭区间 上连续，并且在
开区间 。假设对于某个实数 ，
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)}{x^r} = 0。
$$
证明无论是
$$
\lim_{x \to 0^+} g'(x) = 0 \qquad \text{或} \qquad \limsup_{x \to 0^+} x^r |g''(x)| = \infty。
$$
提示 1
先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。
提示 2
试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2019 年 Putnam A6 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？