2007 Putnam A6

A *triangulation* $\mathcal{T}$ of a polygon $P$ is a finite

collection of triangles whose union is $P$, and such that the

intersection of any two triangles is either empty, or a shared vertex,

or a shared side. Moreover, each side is a side of exactly one triangle

in $\mathcal{T}$. Say that $\mathcal{T}$ is *admissible* if every

internal vertex is shared by 6 or more triangles. For example, [figure

omitted.] Prove that there is an integer $M_n$, depending only on $n$,

such that any admissible triangulation of a polygon $P$ with $n$ sides

has at most $M_n$ triangles.

多边形$P$的*三角剖分*$\mathcal{T}$是有限的

并集为 $P$ 的三角形集合，并且使得

任何两个三角形的交集要么是空的，要么是共享顶点，

或共享的一面。而且，每条边都是一个三角形的一条边

在$\mathcal{T}$中。假设 $\mathcal{T}$ 是*可接受的*，如果每个

内部顶点由 6 个或更多三角形共享。例如，[图

] 证明存在一个整数$M_n$，仅依赖于$n$，

使得具有 $n$ 边的多边形 $P$ 的任何可接受的三角剖分

最多有 $M_n$ 个三角形。