2012 Putnam A3

Let $f: [-1, 1] \to \RR$ be a continuous function such that

(i)
$f(x) = \frac{2-x^2}{2} f \left( \frac{x^2}{2-x^2} \right)$ for every $x$ in $[-1, 1]$,

(ii)
$f(0) = 1$, and

(iii)
$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x}}$ exists and is finite.

Prove that $f$ is unique, and express $f(x)$ in closed form.

令 $f: [-1, 1] \to \RR$ 为连续函数，使得

(一)
$f(x) = \frac{2-x^2}{2} f \left( \frac{x^2}{2-x^2} \right)$ 对于 $[-1, 1]$ 中的每个 $x$，

(二)
$f(0) = 1$，并且

(三)
$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x}}$ 存在且有限。

证明$f$是唯一的，并以封闭形式表示$f(x)$。