题面据 Putnam 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。 PDF：https://kskedlaya.org/putnam-archive/1993.pdf。
Show that
\begin{gather*}
\int_{-100}^{-10} \left( \frac{x^2 - x}{x^3 - 3x + 1} \right)^2\,dx + \\
\int_{\frac{1}{101}}^{\frac{1}{11}} \left( \frac{x^2 - x}{x^3 - 3x + 1} \right)^2\,dx + \\
\int_{\frac{101}{100}}^{\frac{11}{10}} \left( \frac{x^2 - x}{x^3 - 3x + 1} \right)^2\,dx
\end{gather*}
is a rational number.
表明
\开始{收集*}
\int_{-100}^{-10} \left( \frac{x^2 - x}{x^3 - 3x + 1} \right)^2\,dx + \\
\int_{\frac{1}{101}}^{\frac{1}{11}} \left( \frac{x^2 - x}{x^3 - 3x + 1} \right)^2\,dx + \\
\int_{\frac{101}{100}}^{\frac{11}{10}} \left( \frac{x^2 - x}{x^3 - 3x + 1} \right)^2\,dx
\结束{聚集*}
是一个有理数。
提示 1
先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。
提示 2
寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。
提示 3
最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1993 年 Putnam A5 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？